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GAMES202 — Real-Time High Quality Rendering Note4: Real-Time Physically-Based Materials

Published 4 September 2026 · Course notes › Computer Graphics › Rendering › Games202 · 2,268 words · 8 min read

对应 Lecture 10–11。主题是实时渲染里的"PBR"材质，以及 NPR。

1. PBR 与 RTR 里的 PBR 材质

Physically-Based Rendering（PBR）：渲染里的一切都应该是基于物理的，包括材质、光照、相机、光传输等，不只是材质，但通常说 PBR 指的就是材质。

RTR 社区在 PBR 材质上远远落后于离线社区，RTR 里的 "PB" 通常并不真的 physically based：

表面：主要就是 microfacet models（用错了所以不算 PBR）和 Disney principled BRDF（对美术友好但仍不是 PBR）
体积：主要是快速近似的 single scattering 和 multiple scattering（云、头发、皮肤等）
通常没有太多新理论，但有大量实现上的 hack；性能（速度）仍是关键考虑因素

2. Microfacet BRDF

\[f(\mathbf{i}, \mathbf{o}) = \frac{F(\mathbf{i}, \mathbf{h}) \, G(\mathbf{i}, \mathbf{o}, \mathbf{h}) \, D(\mathbf{h})}{4 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{i})(\mathbf{n} \cdot \mathbf{o})}\]

2.1 Fresnel term

反射率依赖入射角（和偏振），掠射角时反射增强。Dielectric（\(\eta = 1.5\)）垂直入射时很低；conductor 一直很高。准确公式要考虑偏振；近似用 Schlick： \(R(\theta) = R_0 + (1 - R_0)(1 - \cos\theta)^5\)，\(R_0 = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2\)。

2.2 Normal Distribution Function（NDF）

关键是微表面法线的分布：集中 ↔ glossy，分散 ↔ diffuse。注意 NDF 和统计里的正态分布无关。有各种模型：Beckmann、GGX 等，以及细节模型（Yan 2014, 2016, 2018……）。

Beckmann NDF：类似高斯，但定义在 slope space（\(\tan\theta_h\)）上，所以永远不会有超过 90° 的法线：

\[D(\mathbf{h}) = \frac{e^{-\tan^2\theta_h / \alpha^2}}{\pi \alpha^2 \cos^4\theta_h}\]

\(\alpha\) 是表面的 roughness（越小越像镜面），\(\theta_h\) 是半程向量与法线的夹角。

GGX（Trowbridge-Reitz）（Walter et al. 2007）：典型特征是长尾（long tail）。高光中心之外衰减得慢，所以高光周围有一圈光晕，看起来更真实。

GGX NDF Beckmann vs GGX

GTR（Generalized Trowbridge-Reitz）（Brent Burley, WDAS）：扩展 GGX，用一个参数 \(\gamma\) 控制尾巴，可以更长。

2.3 Shadowing-masking term

也叫 geometry term \(G\)，考虑微表面的自遮挡：shadowing 对光，masking 对眼。主要在掠射角附近提供变暗。

为什么重要？ 假设没有 \(G\)，入射或出射在掠射角时分母 \((\mathbf{n} \cdot \mathbf{i})(\mathbf{n} \cdot \mathbf{o})\) 趋于 0，BRDF 可以任意亮，物体边缘会出现一圈亮边。

常用的是 Smith shadowing-masking term：把 shadowing 和 masking 解耦， \(G(\mathbf{i}, \mathbf{o}, \mathbf{m}) \approx G_1(\mathbf{i}, \mathbf{m}) G_1(\mathbf{o}, \mathbf{m})\)。

2.4 多次弹射与 Kulla-Conty 近似

能量丢失！ 尤其在 roughness 高时明显（为什么？因为粗糙表面上更多光线被遮挡，而被遮挡的光实际上会在微表面间继续弹射，模型直接把它丢了）。白炉测试里粗糙的球越来越暗。

把丢失的能量加回来？准确方法存在（Heitz et al. 2016，微表面间的随机游走），但对 RTR 太慢。基本思想：被遮挡 == 下一次弹射发生。

Kulla-Conty approximation（Imageworks, 2017）。先定义一个出射 2D BRDF lobe 的总能量（albedo）：

\[E(\mu_o) = \int_0^{2\pi} \int_0^1 f(\mu_o, \mu_i, \phi) \mu_i \, d\mu_i \, d\phi, \qquad \mu = \sin\theta\]

关键思想：设计一个额外的 lobe，它的积分恰好是 \(1 - E(\mu_o)\)。出射 lobe 对不同的入射方向可以不同；考虑互易性，它应该是 \(c(1 - E(\mu_i))(1 - E(\mu_o))\) 的形式。

解出常数 \(c\)：

\[f_{ms}(\mu_o, \mu_i) = \frac{(1 - E(\mu_o))(1 - E(\mu_i))}{\pi (1 - E_{avg})}, \qquad E_{avg} = 2 \int_0^1 E(\mu) \mu \, d\mu\]

验证：把 \(f_{ms}\) 对 \(\mu_i\) 积分确实得到 \(1 - E(\mu_o)\)。

但 \(E(\mu)\) 和 \(E_{avg}\) 都不是解析的。我们已经知道该怎么办：像 split sum 一样 预计算 / 打表。\(E(\mu)\) 的参数是 roughness 和 \(\mu\)（2D 表），\(E_{avg}\) 只有 roughness（1D 表）。

Precomputed tables Kulla-Conty results

BRDF 有颜色怎么办？ 颜色 == 吸收 == 能量损失（这是应该的），所以只需要算总的能量损失。定义平均 Fresnel（反射了多少能量，只是一个数）：

\[F_{avg} = \frac{\int_0^1 F(\mu) \mu \, d\mu}{\int_0^1 \mu \, d\mu} = 2 \int_0^1 F(\mu) \mu \, d\mu\]

回忆 \(E_{avg}\) 是你能看到的能量（即不再参与后续弹射的部分）。于是各部分能量（颜色）的比例：

直接看到：\(F_{avg} E_{avg}\)
弹一次后看到：\(F_{avg}(1 - E_{avg}) \cdot F_{avg} E_{avg}\)
弹 \(k\) 次后看到：\(F_{avg}^k (1 - E_{avg})^k \cdot F_{avg} E_{avg}\)

全部加起来（等比级数）得到颜色项

\[\frac{F_{avg} E_{avg}}{1 - F_{avg}(1 - E_{avg})}\]

直接乘在无颜色的额外 BRDF 上。

Average Fresnel The color term

一个不可取的 hack：把 microfacet BRDF 和一个 diffuse lobe 直接相加。在计算机视觉的材质识别里普遍使用，但完全错误：物理上不对，不守恒能量（Kulla-Conty 修正了这一点，也可以用别的方式修正）。

3. Disney's principled BRDF

为什么需要它？ 没有一个基于物理的材质能表示所有真实材质（比如大多数 microfacet 模型缺少 diffuse 项）；基于物理的材质对美术不友好（比如"复折射率 \(n - ik\)"）。设计目标：art directable，不一定物理正确，但在实时渲染里仍被叫做 PBR。

"Principled" 是什么意思？ BRDF 按几条重要原则设计：

用直观而不是物理的参数
参数尽量少
参数在合理范围内取值 0 到 1
在有意义的地方允许参数超出合理范围
所有参数组合都应尽可能鲁棒和合理

参数（每一行是一个参数从 0 到 1 的效果）：subsurface、metallic、specular、 specularTint、roughness、anisotropic、sheen、sheenTint、clearcoat、clearcoatGloss。

Pros：容易理解和控制；一个模型覆盖很大范围的材质；有开源实现。Cons：不是基于物理的（但这是大问题吗？学术界 vs 工业界）；参数空间巨大。

4. Linearly Transformed Cosines（LTC）

解决 microfacet 模型（主要是 GGX，其他也行）在多边形光源下的 shading，不考虑阴影。

关键思想：给定观察方向，任何出射的 2D BRDF lobe 都可以通过一个线性变换变成一个 cosine lobe；光源的形状也可以跟着一起变换；在 cosine lobe 上对变换后的（多边形）光源积分是解析的。

观察：用 \(M^{-1}\)，BRDF → cosine；方向 \(\omega_i \to \omega_i'\)；积分域（多边形） \(P \to P'\)。

方法：一个简单的变量替换 \(\omega_i = \frac{M \omega_i'}{\|M \omega_i'\|}\)，

\[L(\omega_o) = L_i \cdot \int_P F(\omega_i) \, d\omega_i = L_i \cdot \int_{P'} \cos(\omega_i') \, d\frac{M \omega_i'}{\|M \omega_i'\|} = L_i \cdot \int_{P'} \cos(\omega_i') \, J \, d\omega_i'\]

最后一步是解析的（cosine 在球面多边形上的积分有闭式解，Lambert 1760）。假设光源 radiance 均匀（\(L_i\) 提到积分外）。\(M\) 按 (roughness, 观察角) 预先拟合并打表。

LTC approach LTC results