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GAMES101 — Modern Computer Graphics Note6: Animation and Simulation

Published 3 September 2026 · Updated 4 September 2026 · Course notes › Computer Graphics › Rendering › Games101 · 2,947 words · 10 min read

对应 Lecture 21–22，课程的最后一块。物理仿真的深入内容在 GAMES103 的笔记里。

1. 什么是动画

Animation：bring things to life. 它是一种沟通工具，美学问题常常比技术问题更重要。从建模的角度看，动画是建模的扩展：把场景模型表示成时间的函数。输出是一串图像，连续播放时产生运动感：电影 24 fps，视频一般 30 fps，VR 90 fps。

历史：伊朗 3200 BCE 的陶碗上的连续画、1831 年的 phenakistoscope、1878 年 Muybridge 的奔马照片（第一部"电影"，原本是科学工具）、1937 年迪士尼《白雪公主》（第一部手绘长片）、1963 年 Sutherland 的 Sketchpad（第一个数字计算机生成的动画）、1972 年 Catmull 的 Computer Animated Faces、1993 年《侏罗纪公园》、1995 年《玩具总动员》（第一部 CG 长片）。

2. Keyframe animation

动画师（lead animator）画关键帧，助手（人或计算机）画中间帧，叫 tweening。把每一帧看作一个参数向量，对每个参数在关键帧之间插值。线性插值通常不够好，回忆样条：用样条做光滑、可控的插值。

Keyframe animation Keyframe interpolation

3. 物理仿真

牛顿定律 \(F = ma\)。Physically based animation 用数值仿真生成物体的运动，比如抛体运动、布料、流体。

3.1 Mass-spring system

绳子、头发、布都可以用质点弹簧系统建模。

理想弹簧：两个质点 \(a, b\)，

\[\mathbf{f}_{a \to b} = k_s (\mathbf{b} - \mathbf{a}), \qquad \mathbf{f}_{b \to a} = -\mathbf{f}_{a \to b}\]

力把两点拉到一起，大小正比于位移（Hooke's law），\(k_s\) 是弹簧系数（stiffness）。问题：这个弹簧想要长度为零。

非零 rest length：

\[\mathbf{f}_{a \to b} = k_s \frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{\|\mathbf{b} - \mathbf{a}\|} (\|\mathbf{b} - \mathbf{a}\| - l)\]

\(l\) 是 rest length。问题：会永远振荡。

引入能量损失。记号：\(\dot{\mathbf{x}}\) 是速度，\(\ddot{\mathbf{x}}\) 是加速度。简单的运动阻尼 \(\mathbf{f} = -k_d \dot{\mathbf{b}}\)，像粘性阻力，减慢速度方向的运动， \(k_d\) 是阻尼系数。问题：减慢所有运动，生锈的弹簧振荡应该变慢，但它掉到地上也应该变慢吗？

弹簧的内部阻尼：只阻尼内部的、弹簧驱动的运动。

\[\mathbf{f}_b = -k_d \frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{\|\mathbf{b} - \mathbf{a}\|} \cdot (\dot{\mathbf{b}} - \dot{\mathbf{a}}) \cdot \frac{\mathbf{b} - \mathbf{a}}{\|\mathbf{b} - \mathbf{a}\|}\]

即把相对速度投影到 \(a\) 到 \(b\) 的方向上（标量），再乘以这个方向。这样只对弹簧长度的变化施加粘性阻力，不会减慢整个系统的运动（整体平移或旋转）。这只是一种特定类型的阻尼。

用弹簧搭结构：行为由连接方式决定。只连相邻点的网格不抗剪切（shearing）也不抗 面外弯曲；加对角线抗剪切但有各向异性偏差；两条对角线都加则偏差小，仍不抗弯曲；再加跳一个点的弹簧（红色，应该弱得多）才能抗面外弯曲。它们的行为就是它们看起来的样子。更精确的方法是 FEM（有限元）。

3.2 Particle systems

把动态系统建模为大量粒子的集合，每个粒子的运动由一组物理（或非物理）的力定义。图形学和游戏里的流行技术：容易理解和实现；可扩展，粒子少则快，多则复杂。挑战：可能需要很多粒子（流体）；可能需要加速结构（找最近的粒子）。

每一帧：

[如需要] 创建新粒子
计算每个粒子受的力
更新每个粒子的位置和速度
[如需要] 移除死掉的粒子
渲染粒子

Particle systems Particle system animation loop

力的种类：吸引和排斥（引力、电磁力、弹簧、推进……）、阻尼（摩擦、空气阻力、粘性……）、碰撞（墙、容器、固定物体、动态物体、角色身体……）。万有引力 \(F_g = G m_1 m_2 / d^2\) 可以做星系仿真。

Flocking（Craig Reynolds 的 boids）：每只鸟是一个粒子，受三个简单的力：向邻居中心的吸引、对个别邻居的排斥、与邻居平均轨迹的对齐。数值仿真大量粒子，涌现出复杂行为（鱼群、蜂群也一样）。其他例子：分子动力学、人群。

4. Kinematics

4.1 Forward kinematics

Articulated skeleton：拓扑（什么连着什么）、关节的几何关系、树结构。关节类型： pin（1D 旋转）、ball（2D 旋转）、prismatic（平移）。

例子：2D 的两段手臂。动画师给出角度 \(\theta_1, \theta_2\)，计算机算出末端执行器（end effector）的位置 \(p\)：

\[p = (l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2),\ l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2))\]

动画就是角度参数随时间的函数。

优点：直接控制方便，实现简单。缺点：动画可能不符合物理，艺术家很耗时。

4.2 Inverse kinematics

反过来：动画师给出末端执行器的位置，计算机求满足约束的关节角度。两段手臂可以解析求解，但一般情况很难：

配置空间里有多个解（可能分离也可能连通）
解可能不存在（够不到）

Inverse kinematics IK: multiple solutions

一般 N 连杆 IK 的数值解：选一个初始配置；定义误差度量（比如目标与当前位置的距离平方）；计算误差关于配置的梯度；梯度下降（或牛顿法等优化方法）。 Style-based IK（Grochow et al.）从数据里学习姿态的先验。

5. Rigging 与 motion capture

Rigging：角色上的一组高层控制，可以更快、更直观地修改姿态、形变、表情等。像木偶上的线，捕获角色所有有意义的变化，每个角色都不同。创建代价高：手工，需要艺术和技术双重训练。

Blend shapes：不用骨架，直接在曲面之间插值。比如建一组面部表情，最简单的方案是顶点位置的线性组合，用样条控制权重随时间的变化。

Motion capture：数据驱动的动画方法。记录真实世界的表演，从数据中提取姿态随时间的函数。优点：能快速捕获大量真实数据，真实感高。缺点：设备复杂昂贵；捕获的动画可能不符合艺术需求，需要修改。设备：optical（反光标记点 + 红外相机三角化， 8 台以上、240 Hz，遮挡是难点）、magnetic（感应磁场推断位置和方向，有线）、 mechanical（直接测关节角，限制运动）。

Motion capture Motion capture equipment Optical motion capture

面部动画的挑战：uncanny valley（恐怖谷）。人工角色越接近真人，情绪反应反而变负面，直到真实到足够令人信服为止。

Production pipeline：story → storyboard → modeling → rigging → layout → animation → simulation → lighting → rendering → compositing。

6. 单粒子仿真

6.1 ODE 与 Euler 方法

先研究单个粒子。假设粒子的运动由一个速度矢量场 \(\mathbf{v}(\mathbf{x}, t)\) 决定，随时间计算位置需要解一阶常微分方程（ODE）：

\[\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{v}(\mathbf{x}, t)\]

"一阶"指只取一阶导数，"常"指没有偏导数。给定初始位置 \(\mathbf{x}_0\)，用前向数值积分求解，即初值问题：从起点出发，跟着矢量走。

Euler's method（forward / explicit Euler）：

\[\mathbf{x}^{t + \Delta t} = \mathbf{x}^t + \Delta t \, \dot{\mathbf{x}}^t, \qquad \dot{\mathbf{x}}^{t + \Delta t} = \dot{\mathbf{x}}^t + \Delta t \, \ddot{\mathbf{x}}^t\]

简单、迭代、常用，但很不准确，而且经常不稳定。

数值积分的误差会累积，Euler 特别差：步长越大偏离真实路径越远。在一个圆形速度场里，每一步都沿切线走，会不断向外螺旋。

Euler errors Instability of the Euler method

两个问题：误差（每步的误差累积，精度随仿真进行而下降，但图形学里精度可能不关键）和不稳定性（误差复合导致仿真发散，即使底层系统不发散。稳定性是仿真的根本问题，不能忽视，比如游戏里车子突然飞上天）。

6.2 对抗不稳定性

Midpoint method / modified Euler：平均起点和终点的速度
Adaptive step size：比较一步和两个半步，递归直到误差可接受
Implicit methods：用下一时刻的速度（难）
Position-based / Verlet integration：时间步之后约束粒子的位置和速度

Midpoint method：先做一个 Euler 步（a），在这一步的中点算导数（b），用中点的导数更新位置（c）：

\[\mathbf{x}_{mid} = \mathbf{x}(t) + \frac{\Delta t}{2} \mathbf{v}(\mathbf{x}(t), t), \qquad \mathbf{x}(t + \Delta t) = \mathbf{x}(t) + \Delta t \, \mathbf{v}(\mathbf{x}_{mid}, t)\]

Modified Euler：平均起点和终点的速度，结果更好：

\[\dot{\mathbf{x}}^{t + \Delta t} = \dot{\mathbf{x}}^t + \Delta t \, \ddot{\mathbf{x}}^t, \qquad \mathbf{x}^{t + \Delta t} = \mathbf{x}^t + \frac{\Delta t}{2}(\dot{\mathbf{x}}^t + \dot{\mathbf{x}}^{t + \Delta t}) = \mathbf{x}^t + \Delta t \, \dot{\mathbf{x}}^t + \frac{(\Delta t)^2}{2} \ddot{\mathbf{x}}^t\]

Adaptive step size：基于误差估计选步长。重复直到误差低于阈值：算一个步长 \(T\) 的 Euler 步得 \(\mathbf{x}_T\)，算两个 \(T/2\) 的步得 \(\mathbf{x}_{T/2}\)，误差是 \(\|\mathbf{x}_T - \mathbf{x}_{T/2}\|\)，太大就减小步长重试。很实用，但可能需要非常小的步。

Implicit Euler（backward method）：用未来的导数更新当前步：

\[\mathbf{x}^{t + \Delta t} = \mathbf{x}^t + \Delta t \, \dot{\mathbf{x}}^{t + \Delta t}, \qquad \dot{\mathbf{x}}^{t + \Delta t} = \dot{\mathbf{x}}^t + \Delta t \, \ddot{\mathbf{x}}^{t + \Delta t}\]

要对 \(\mathbf{x}^{t + \Delta t}\) 和 \(\dot{\mathbf{x}}^{t + \Delta t}\) 解非线性方程，用求根算法（牛顿法）。稳定性好得多。

怎么量化"稳定性"？ 用 local truncation error（每步）和 total accumulated error （整体），看的不是绝对值而是关于步长 \(h = \Delta t\) 的阶。Implicit Euler 是一阶的：局部截断误差 \(O(h^2)\)，全局截断误差 \(O(h)\)，即步长减半，误差也减半。

Runge-Kutta 家族：解 ODE 的一族高级方法，特别擅长非线性，四阶版本 RK4 最常用：

\[\mathbf{y}_{n + 1} = \mathbf{y}_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4), \quad k_1 = f(t_n, \mathbf{y}_n), \ k_2 = f\left(t_n + \tfrac{h}{2}, \mathbf{y}_n + \tfrac{h}{2} k_1\right), \ k_3 = f\left(t_n + \tfrac{h}{2}, \mathbf{y}_n + \tfrac{h}{2} k_2\right), \ k_4 = f(t_n + h, \mathbf{y}_n + h k_3)\]

Position-based / Verlet integration：modified Euler 前向步之后，约束粒子的位置 防止发散和不稳定，再用约束后的位置算速度。两者都会耗散能量、趋于稳定。快而简单，但不是物理的，耗散能量（误差）。详见作业 8。

7. 刚体与流体仿真

Rigid body simulation：简单情况和模拟粒子类似，只是多考虑几个属性（位置、旋转、线速度、角速度……）。

流体：一个简单的 position-based 方法（Position Based Fluids）。关键思想：假设水由小的刚体球组成；假设水不可压缩（密度恒定）；所以只要某处密度变了，就通过改变粒子位置来"修正"。需要知道密度关于每个粒子位置的梯度，更新就是梯度下降。

Eulerian vs Lagrangian：模拟大量物质的两种视角。Lagrangian（质点法）跟着每个粒子走；Eulerian（网格法）在固定的网格上看物质流过。

Material Point Method（MPM）：混合两种视角。Lagrangian 的粒子携带材质属性； Eulerian 的网格做数值积分。粒子把属性传给网格，网格做更新，再插值回粒子。《冰雪奇缘》的雪就是用 MPM 做的。

8. 课程结束

四大块：rasterization、geometry、light transport、animation / simulation。后续课程： GAMES201（胡渊鸣，高级物理引擎实战，Taichi）、GAMES202（实时高质量渲染）、高级图像合成（advanced light transport、appearance modeling）。