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GAMES101 — Modern Computer Graphics Note3: Geometry

Published 3 September 2026 · Updated 4 September 2026 · Course notes › Computer Graphics › Rendering › Games101 · 2,526 words · 9 min read

对应 Lecture 10–12 的几何部分。Lecture 10 开头的纹理应用和 Lecture 12 末尾的 shadow mapping 放在了上一篇。

1. 几何的表示

几何在图形学里无处不在：汽车、布料、水滴、树叶、城市、毛发、病毒结构……表示方法分两大类：

Implicit：algebraic surface、level sets、distance functions……
Explicit：point cloud、polygon mesh、subdivision、NURBS……

每种表示适合不同的任务和几何类型。

1.1 隐式表示

基于对点的分类：点满足某个关系式，比如球面是所有满足 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 的点。一般地写成 $f(x, y, z) = 0$，$f < 0$ 在内部，$f > 0$ 在外部。

采样困难：给一个 $f$，要找出所有满足 $f = 0$ 的点很难，比如 $f(x, y, z) = (2 - \sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2 - 1$ 是个环面，但从式子看不出来
内外判断容易：$(3/4, 1/2, 1/4)$ 在单位球内吗？代进去 $f = -1/8 < 0$，在内部

1.2 显式表示

所有点直接给出或通过参数映射给出：$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$， $(u, v) \mapsto (x, y, z)$。

采样容易：$f(u, v) = ((2 + \cos u)\cos v, (2 + \cos u)\sin v, \sin u)$，遍历 $(u, v)$ 就得到环面上的点
内外判断困难

没有"最好"的表示，取决于任务。Pixar 的 David Baraff："I hate meshes. I cannot believe how hard this is. Geometry is hard."

1.3 更多隐式表示

Algebraic surfaces：多项式的零点集。复杂形状难写
Constructive solid geometry（CSG）：用布尔运算（并、交、差）组合简单的隐式几何
Distance functions：不用布尔而是渐变地融合表面。对每个点给出到物体的最小距离（可以带符号，即 SDF）。两个距离函数 $d_1, d_2$ 可以任意 blend，比如线性插值，得到的零等值面就是融合后的形状。Inigo Quilez 用纯距离函数做出整个场景
Level set methods：闭式方程描述复杂形状很难，改为在网格上存函数值，表面在插值后等于零的地方，控制更直接（像纹理一样）。医学数据（CT、MRI）和物理仿真（液面到空气的距离）都用它
Fractals：自相似、所有尺度都有细节，是描述自然现象的"语言"，但形状难控制

Constructive solid geometry Blending distance functions Level set

隐式表示的优缺点：

Pros：描述紧凑（一个函数）；某些查询容易（内外、到表面的距离）；适合光线求交；简单形状精确无采样误差；容易处理拓扑变化（流体）
Cons：难以建模复杂形状

1.4 更多显式表示

Point cloud：最简单，一列 $(x, y, z)$。能表示任何几何，适合超大数据集（远多于 1 点/像素），常转成 mesh。欠采样区域难以绘制
Polygon mesh：存顶点和多边形（常是三角形或四边形）。更容易做处理、仿真、自适应采样，数据结构更复杂。可能是图形学里最常用的表示
Wavefront .obj：研究里常用的文本格式，列出顶点 v、法线 vn、纹理坐标 vt 以及面 f 里的连接关系（索引组合 v/vt/vn）
Bézier surfaces、subdivision surfaces、NURBS 等

Point cloud Polygon mesh The .obj format

2. 曲线：Bézier curves

曲线的应用：相机路径、动画曲线（关键帧插值）、矢量字体（Baskerville 就是分段三次 Bézier 曲线）。

2.1 定义

Bézier 曲线由一组控制点定义。三次 Bézier 用 4 个点 $p_0, p_1, p_2, p_3$：曲线从 $p_0$ 出发、在 $p_3$ 结束，起点切线 $t_0 = 3(p_1 - p_0)$，终点切线 $t_1 = 3(p_3 - p_2)$。

2.2 De Casteljau 算法

怎么求曲线上的点？以二次（3 个点 $b_0, b_1, b_2$）为例，给定 $t \in [0, 1]$：

在 $b_0 b_1$ 上按 $t$ 线性插值得到 $b_0^1$，在 $b_1 b_2$ 上得到 $b_1^1$
在 $b_0^1 b_1^1$ 上再按 $t$ 插值得到 $b_0^2$，这就是曲线上 $t$ 对应的点
对 $[0, 1]$ 里每个 $t$ 重复，连起来就是曲线

三次的情况一样，4 个点递归做三层线性插值。

2.3 代数形式

De Casteljau 给出一个系数金字塔：每个向右的箭头乘 $t$，向左的乘 $(1 - t)$。

二次的例子：

\[b_0^1(t) = (1 - t) b_0 + t b_1, \quad b_1^1(t) = (1 - t) b_1 + t b_2$$ $$b_0^2(t) = (1 - t) b_0^1 + t b_1^1 = (1 - t)^2 b_0 + 2t(1 - t) b_1 + t^2 b_2\]

一般地，$n$ 阶 Bézier 曲线的 Bernstein 形式：

\[\mathbf{b}^n(t) = \mathbf{b}_0^n(t) = \sum_{j = 0}^n \mathbf{b}_j B_j^n(t), \qquad B_i^n(t) = \binom{n}{i} t^i (1 - t)^{n - i}\]

$\mathbf{b}_j$ 是控制点（$\mathbb{R}^N$ 里的向量），$B_i^n$ 是 Bernstein 多项式 （标量，$n$ 次），本质上是二项分布。三次的例子：

\[\mathbf{b}^3(t) = \mathbf{b}_0 (1 - t)^3 + \mathbf{b}_1 \, 3t(1 - t)^2 + \mathbf{b}_2 \, 3t^2(1 - t) + \mathbf{b}_3 \, t^3\]

控制点可以在 3D，得到 3D 曲线。

Bernstein form Cubic Bernstein basis functions

2.4 性质

插值端点：三次时 $\mathbf{b}(0) = \mathbf{b}_0$，$\mathbf{b}(1) = \mathbf{b}_3$
端点切线：$\mathbf{b}'(0) = 3(\mathbf{b}_1 - \mathbf{b}_0)$，$\mathbf{b}'(1) = 3(\mathbf{b}_3 - \mathbf{b}_2)$
仿射不变性：对曲线做仿射变换等于对控制点做变换再生成曲线（投影变换不行）
凸包性质：曲线在控制点的凸包内

2.5 分段 Bézier 曲线

高阶 Bézier 曲线很难控制，不常用。取而代之是把很多低阶曲线串起来， 分段三次 Bézier 是最常见的技术（字体、路径、Illustrator、Keynote……）。每 4 个控制点一段，所以工具里拖动的是"锚点 + 两个手柄"。

连续性：两段曲线 $\mathbf{a}$（$[k, k + 1]$）和 $\mathbf{b}$（$[k + 1, k + 2]$）

$C^0$ 连续：$\mathbf{a}_n = \mathbf{b}_0$，即首尾相接
$C^1$ 连续：$\mathbf{a}_n = \mathbf{b}_0 = \frac{1}{2}(\mathbf{a}_{n - 1} + \mathbf{b}_1)$，即接点两侧的控制点共线且等距，切线方向和大小都连续

2.6 其他样条

Spline：通过给定点、且有若干阶连续导数的连续曲线，简言之"受控的曲线"。 B-splines（basis splines）需要比 Bézier 更多的信息，满足 Bézier 的所有重要性质（是它的超集），并且有局部性：动一个控制点只影响局部。本课不讲 B-spline、 NURBS 以及曲线上的操作（升降阶等），可参考胡事民老师的课程。

3. 曲面：Bézier surfaces

把 Bézier 曲线扩展到曲面。Bicubic Bézier surface patch 由 $4 \times 4$ 个控制点定义，输出是由 $(u, v) \in [0, 1]^2$ 参数化的 2D 曲面。Utah teapot 就是由多个 patch 拼成的。

求值：可分离的 1D de Casteljau。 目标是求 $(u, v)$ 对应的曲面点：

对 4 条 $u$ 方向的 Bézier 曲线各用 de Casteljau 求出 $u$ 处的点，得到 4 个 "移动的" Bézier 曲线的控制点
对这条移动曲线用 1D de Casteljau 求 $v$ 处的点

4. Mesh 处理

三种 geometry processing 操作：

Mesh subdivision（upsampling）：增加分辨率
Mesh simplification（downsampling）：减少分辨率，尽量保持形状和外观
Mesh regularization（三角形数不变）：改变采样分布以提高质量，避免又尖又长的三角形

4.1 Loop subdivision

三角形网格的常用细分规则（Loop 是人名，不是循环）。两步：先增加三角形（顶点），再调整位置。

每个三角形沿三边中点拆成四个
按权重给顶点赋新位置，新顶点和老顶点更新方式不同

新顶点（边中点）：设该边两个端点是 $A, B$，两侧三角形的另外两个顶点是 $C, D$，

\[\frac{3}{8}(A + B) + \frac{1}{8}(C + D)\]

老顶点：设顶点度数为 $n$，$u = 3/16$（$n = 3$ 时）或 $u = 3 / (8n)$（否则），

\[(1 - n u) \cdot \text{original\_position} + u \cdot \text{neighbor\_position\_sum}\]

意思是：老顶点相信自己一部分，也相信邻居一部分；度数越高，邻居的话语权越大。

4.2 Catmull-Clark subdivision

Loop 只适用于三角形网格。Catmull-Clark 适用于一般网格（含四边形和非四边形面）。先定义：非四边形面（non-quad face）和奇异点（extraordinary vertex，度数 ≠ 4）。

每一步细分：

在每个面里加一个点
在每条边上加中点
把所有新点连起来

一次细分之后：每个非四边形面都变成一个奇异点（度数等于原面的边数），奇异点的数量增加了原来非四边形面的数量；之后所有面都是四边形，奇异点的数量不再增加。

更新规则（四边形网格）：

Face point：$f = \frac{v_1 + v_2 + v_3 + v_4}{4}$
Edge point：$e = \frac{v_1 + v_2 + f_1 + f_2}{4}$（边的两个端点和两侧的 face point）
Vertex point：$v = \frac{f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + 2(m_1 + m_2 + m_3 + m_4) + 4p}{16}$ （$m$ 是边中点，$p$ 是老顶点位置）

细分多次后收敛到光滑曲面，需要保留的锐边（creases）可以特殊处理。Pixar 的 "Geri's Game" 是细分曲面的经典应用。

4.3 Mesh simplification

目标：减少网格元素数量，同时保持整体形状（比如 30000 个三角形减到 300 个）。基本操作是 edge collapsing：把一条边的两个端点合并成一个。

合并到哪里？简单地取顶点平均不好。Quadric error metrics：新顶点应该最小化到之前相关三角形所在平面的距离平方和（$L_2$ 距离）。

算法（Garland & Heckbert 1997）：

给每条边打分：坍缩它并把新点放在 quadric error 最小的位置，这个最小误差就是分数
迭代地坍缩分数最小的边
坍缩后受影响的边要重新打分，所以用优先队列（堆）维护

这是贪心算法，但效果很好。

5. 课程路线图

到这里覆盖了 rasterization 和 geometry 两大块，接下来是 ray tracing 和 animation / simulation。